PEMFAKTORAN

KPK adalah bilangan yang merupakan persekutuan yang kecil dari kelipatan dua bilanagan atau lebih.

	Langkah-langkah menentukan KPK.
1.	a. Mencari faktorisasi prima dari bilangan-bilangan tersebut. b. Ambil semua faktor yang sama atau tidak sama dari bilangan-bilangan tersebut. c. Jika faktor yang sama memiliki pangkat berbeda, maka ambillah faktor yang pangkatnya terbesar. Contoh : Tentukan KPK dari 48 dan 72 ! Jawab : Mencari faktorisasi prima dari 48 dan 72 dengan pohon faktor :  Faktorisasi prima dari 48 adalah 48 = 24 × 3. Faktorisasi prima dari 72 adalah 48 = 23 × 32. a.Mengambil faktor yang sama dari 48 dan 72 yaitu 2 dan 3 b. Ada faktor yang sama tetapi pangkatnya berbeda maka diambil faktor yang pangkatnya terbesar     yaitu 24 dan 32. Kesimpulan : KPK dari 48 dan 72 adalah 24 × 32 = 16 × 9 = 144
2.	Penggunaan KPK untuk Menyelesaikan Soal Cerita
	Contoh : Alvin mengunjungi perpustakaan setiap 3 hari sekali dan Zury setiap 4 hari sekali. Jika tanggal 20 Mei mereka mengunjungi perpustakaan, mereka akan ke perpustakaan secara bersamaan lagi pada tanggal ....? (soal UASBN nomor 12 Tahun Pelajaran 2009/2010) Jawab : Soal di atas adalah soal kontekstual untuk konsep KPK. Kelipatan dari 3 = 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, ... Kelipatan dari 4 = 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, ... Kelipatan persekutuan dari 3 dan 4 adalah 12, 24, 36, ... Artinya Alvin dan Zury akan bertemu pada hari ke-12, ke-24, ke-36, dan seterusnya. Kelipatan persekutuan terkecil adalah 12. Artinya mereka akan bertemu lagi untuk yang pertama kalinya pada hari ke-12.

Faktor Persekutuan dan Faktor Persekutuan Terbesar

Faktor Persekutuan (Common Factor, Common Divisor) adalah bentuk aljabar (bisa berupa konstanta, variabel, atau perkalian keduanya) yang dapat membagi suku-suku polynomial. Faktor Persekutuan Terbesar (Greatest Common Factor, Greatest Common Divisor) adalah faktor persekutuan yang bernilai paling besar dan dapat membagi suku-suku polynomial. Cara yang paling mudah dalam mencari FPB adalah dengan memfaktorkan masing-masing suku terlebih dulu. Setelah itu, FPB dikeluarkan ke luar tanda kurung.

Contoh 1:

§  5x + 10 = 5 ∙ x + 5 ∙ 2 = 5(x + 2)

§  12x² – 9x = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ x ∙ x – 3 ∙ 3 ∙ x = 3x(4x – 3)

Pemfaktoran dengan Cara Pengelompokan

Sebelum melakukan pemfaktoran dengan pengelompokan, harap untuk selalu memperhatikan apakah suku-suku dalam polynomial memiliki FPB yang tidak satu atau tidak.

Contoh 2:

6abx + 9ax – 2bx – 3x

= x(6ab + 9a – 2b – 3)

= x([6ab + 9a]  + [–2b – 3])

= x(3a[2b + 3] – [2b + 3])

= x(3a – 1)(2b + 3)

Dalam pemfaktoran dengan cara pengelompokan, biasanya digunakan untuk memfaktorkan polynomial yang bersuku 4. Pertama, dari keempat suku polynomialbagilah ke dalam dua kelompok. Masing-masing kelompok berilah tanda kurung. Yang perlu diperhatikan adalah bahwa minimal satu grup dalam pengelompokan tersebut memiliki faktor persekutuan. Setelah itu, keluarkan faktor persekutuan keluar tanda kurung pada masing-masing kelompok. Bentuk aljabar yang ada di dalam kurung haruslah sama. Apabila tidak sama, maka ada kesalahan dalam membagi kelompok atau memang polynomial tersebut tidak dapat difaktorkan dengan cara pengelompokan. Jadi diperlukan sedikit kecermatan dalam membagi kelompok suku-suku polynomial.

Contoh 3A:

5xy + 2y – 20x – 8

= (5xy – 8) + (2y – 20x)

= (5xy – 8) + 2(y – 10x)

Kesalahan dalam pembagian kelompok.

Contoh 3B:

5xy + 2y – 20x – 8

= (5xy + 2y) + (–20x – 8)

= y(5x + 2) – 4(5x + 2)

= (y – 4)(5x + 2)

Contoh 4:

x + 2xy + 3y + 5

= (x + 2xy) + (3y + 5)

= x(1 + 2y) + (3y + 5)

Bentuk aljabar dalam kurung tidak sama, dan dengan pengelompokan lain juga akan menghasilkan bentuk aljabar dalam kurung yang tidak sama, soal tersebut tidak dapat difaktorkan dengan cara pengelompokan.

Pemfaktoran dengan cara pengelompokan juga dapat digunakan dalam memfaktorkan polynomial bentuk ax² + bx + c, dengan a, b, dan c adalah bilangan real. Jika tidak terdapat suatu bilangan di depan salah satu suku x, maka bilangannya adalah 1.

Contoh 5:

2x² + x – 5

a = 2; b = 1; c = –5

Cara memfaktorkan trinomial, polinomial dengan 3 suku, adalah dengan mengubahnya dari 3 suku menjadi 4 suku. Langkah pertama adalah mencari 2 bilangan yang dijumlahkan menghasilkan b, dan jika dikalikan menghasilkan ac. Jika tidak dapat ditemukan kedua bilangan yang memenuhi, maka trinomial tersebut tidak dapat diselesaikan dengan cara pengelompokan. Setelah ditemukan 2 bilangan yang memenuhi,pecahlah b menjadi penjumlahan dari kedua bilangan tersebut. Setelah itu, permasalahannya dapat diselesaikan seperti contoh 2 – 4.

Contoh 6:

x² + 2x – 15. Cari dua bilangan yang dijumlahkan hasilnya 2, jika dikalikan hasilnya 1 ∙ 15 = 15. Dengan sedikit perhitungan, kedua bilangan tersebut adalah 5 dan –3. Setelah itu pecahlah b = 2 menjadi penjumlahan dari kedua bilangan tersebut. Sehingga 2x = 5x – 3x. Diperoleh,

x² + 2x – 15

= x² + 5x – 3x – 15

= x(x + 5) – 3(x + 5)

= (x – 3)(x + 5)

Contoh 7:

6x² – 5x – 4

= 6x² – 8x + 3x – 4

= 2x(3x – 4) + (3x – 4)

= (2x + 1)(3x – 4)

Pemfaktoran Kasus Khusus

Berikut ini adalah kasus khusus dalam pemfaktoran yang perlu diingat.

§  a2 – b2 = (a + b)(a – b) §  a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) §  a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)

Contoh 8:

x² – 9 = (x + 3)(x – 3)

Contoh 9:

x³ + 8 = x³ + 2³ = (x + 2)(x² – 2x + 4)

Contoh 10:

8x³ – 27 = (2x)³ – 3³ = (2x – 3)(4x² + 6x + 9)

Substitusi

Cara substitusi digunakan untuk pemfaktoran trinomial bentuk ax^2m + bx^m + c, dengan a,b, c, dan m bilangan real. Yang perlu dilakukan adalah dengan memisalkan u = x², kemudian difaktorkan secara biasa. Setelah difaktorkan dalam u, substitusi u dengan x².

Contoh 11:

x⁴ – 4x² – 45; misal u = x²

= u² – 4u² – 45

= (u – 9)(u + 5)

= (x² – 9)(x² + 5)

= (x + 3)(x – 3)(x2 + 5)

Contoh 12:

(x – 2)² – 9; misal u = x – 2

= u² – 9

= (u + 3)(u – 3)

= (x – 2 + 3)(x – 2 – 3)

= (x + 1)(x – 5)